Rechneranwendungen in der Physik - Taylorentwicklung der Kosinusfunktion¶
Santiago.R (in Zusammenarbeit mit Diego Rubio Carrera)
import numpy as np
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import time
Zur Approximation der Kosinusfunktion entwickeln wir die Taylorreihe für $f(x)=cos(x)$ um den Entwicklungspunkt $x_0=0$. Die Taylorreihe, die beliebige Funktionen mithilfe von Polynomen n-ter Ordnungen annähert, ist allgemein definiert als $T(x,x_0,n)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$, d.h. also als Summe der Produkte von den k-ten Ableitungen am Entwicklungspunkt und den k-Potenzen der Variable $x$. Um diese Taylorreihe zu entwickeln müssen also die Ableitungen (oder die Werte der Differentialquotienten am Entwicklungspunkt) bis zur k-ten Ordnung aus der angenäherten Funktion entnommen werden. Diese ist die Kosinusfunktion und diese definieren wir also zunächst im Notebook mithilfe vom Modul Numpy als $y_1(x)=cos(x)$, weshalb folgt;
def y1(x):
return np.cos(x)
Für die Ableitungen der Kosinusfunktion gilt aus der Lehre in der mathematischen Analyse $f'(x)=-sin(x)$, $f''(x)=-cos(x)$, $f'''(x)=sin(x)$ u.s.w. sodass gilt $ f^{(k)}(x)= \begin{cases} (-1)^{i} sin(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall k=2i-1 \ \ :i \in \mathbb{N} \\ (-1)^j cos(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall k=2j \ \ :j \in \mathbb{N} \\ \end{cases} $, wobei aber alle Terme im ersten Fall mit $sin(x)$ für den Entwicklungspunkt $x_0=0$ entfallen aufgrund von $sin(0)=0$. Somit bleiben für die Taylorentwicklung der Kosinusfunktion um den Punkt $x_0=0$ nur die Terme von $f^{(k)}(x_0)=(-1)^k cos(x_0)= (-1)^k$ in der Summe s.d. für die Taylorreihe um $x_0=0$ folgt; $\ \ T_{(0)}(x,n)=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}$
def T(x, n):
taylor = 0
for k in range(n+1):
taylor += ((-1)**k) * (x ** (2*k)) / (math.factorial(2 * k))
return taylor
Diese Taylorreihe soll nun für $n=0,2,4...10$ entwickelt und die Laufzeiten $\Delta t$ der nummerischen Berechnungen für jede einzelne Taylorentwicklung angegeben werden. Anschließend werden die ausgewerteten Polynome mitsamt der eigentlichen Kosinusfunktion gemeinsam in einem Plot dargestellt.
x = np.linspace(0,20,num=20000)
n0=0
t0 = time.time()
plt.plot(x, T(x, n0),label=0)
Laufzeit0 = time.time()-t0
mylist=[]
for n in range(1,11,2):
t = time.time()
plt.plot(x, T(x, n),label=n+1)
Laufzeit = time.time()-t
mylist.append(Laufzeit)
plt.plot(x, y1(x), color="brown", linewidth=2.5, linestyle="--",label='cos(x)')
plt.legend(title="Ordnung n",loc='upper right')
plt.xlabel('X-Achse')
plt.ylabel('Y-Achse')
startx, endx = 0, 20
starty, endy = -1.5, 1.5
plt.axis([startx, endx, starty, endy])
plt.show()
s = set(mylist)
print('Die Laufzeit der Taylor-Entwicklung bis zur Ordnung n =', 0,'ist t =',round(Laufzeit0,3),'Sekunden')
for i in range(0,5,1):
print('Die Laufzeit der Taylor-Entwicklung bis zur Ordnung n =', 2+2*i,'ist t =',round(list(s)[i],3),'Sekunden')
